วันอังคารที่ 7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

         
          ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุมซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ใน ลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น
ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180 องศา เสมอ ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)


ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์         
          ไซน์ (Sine) sin
          โคไซน์ (Cosine) cos
          แทนเจนต์ (Tangent) tan
          โคแทนเจนต์ (Cotangent) cot
          ซีแคนต์ (Secant) sec
          โคซีแคนต์ (Cosecant) csc (หรือ cosec)

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากtri1


จะได้ว่า
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b
4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a
5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b
6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า
ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ชิดฉาก ... cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ข้ามชิด ... tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด


การหาอัตราส่วนโดยใช้ทฤษฎีปีทาโกรัส


 tri2
          ในการอัตราส่วนตรีโกณมิตินอกจากหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วยังสามารถหาความสัมพันธ์ของด้านและมุมได้ดังนี้|

tri3


         นอกจากอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 3 อัตราส่วนที่กล่าวมาแล้วยังมีอัตราส่วนตรีโกณมิติอีก 3 อัตราส่วน ซึ่งกำหนดโดยนิยามดังนี้

 tri4


  ตัวอย่าง
tri5

tri6


อัตราส่วนตรีโกณมิติ 30 องศา 40 องศา และ 50 องศา          ในสมัยกรีกโบราณ ทอเลมี (Ptolemy : ประมาณปี ค.ศ. 200) ได้สร้างตารางแสดงอัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีค่าคงตัวไว้ ดังนี้

tri7


วันเสาร์ที่ 28 มกราคม พ.ศ. 2555

การบวกเมทริกซ์

 การบวกเมทริกซ์



บทนิยาม  ให้    และ  จะได้ว่า    โดยที่

            
จากความหมายของการนำเมทริกซ์ A มาบวกกับเมทริกซ์ B ข้างจ้น จะเกิดขึ้นได้ต้องมีเงื่อนไข 2 ประการ คือ
1.  เมทริกซ์ A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน
2.  สมาชิกของผลลัพธ์นั้น เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์ A และสมาชิกในเมทริกซ์ B มาบวกกัน แต่ต้องเป็นสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันทั้งหมด 




ตัวอย่าง  ให้  

               

             
             
            จากตัวอย่างจะพบว่า 

ตัวอย่าง  ให้  


                  =  


                 =   


           จากตัวอย่างนี้ สรุปได้ว่า การบวกเมทริกซ์ เราสามารถใช้สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ นั่นคือ

ัวอย่าง ให้ และ   

                   จงหา (1)      (2)   


วิธีทำ (1)   +   

                                     


                      


        (2)     ,    


         +   

          นั่นคือ =  



ที่มา : http://www.thaigoodview.com/

อัตราส่วน

อัตราส่วน

          นักเรียนอาจพบข้อความแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณในสถานการณ์ต่างๆ เช่น ข่าวกีฬารายงานว่า "การแข่งขันวอลเลย์บอลของจังหวัดพัทลุง  ทีมเทศบาลชนะทีมจังหวัด  3  ต่อ  2  เซต" ซึ่งข้อความแสดงการเปรียบเทียบจำนวนเซตที่ชนะของทีมเทศบาลและทีมจังหวัด
          ในตลาดนัดอาจได้ยินแม่ค้าร้องขายของว่า "ผักทุกอย่าง  3  กำ  10  บาท" ซึ่งเป็นข้อความแสดงการเปรียบเทียบปริมาณผักกับราคา
          ข้อความข้างต้นเป็นตัวอย่างการใช้อัตราส่วนในชีวิตประจำวันซึ่งเราได้กล่าวถึงต่อไป

sett
          อัตราส่วนของปริมาณ a  ต่อปริมาณ b    เขียนแทนด้วย a : b  หรือ aaaa   เรียก a ว่า จำนวนแรกหรือจำนวนที่หนึ่งของอัตราส่วน   และเรียก b ว่าจำนวนหลังหรือจำนวนที่สองของอัตราส่วน a อัตราส่วน b   ต่อจะพิจารณาเฉพาะในกรณีที่  a  ต่อ  b   เป็นจำนวนบวกเท่านั้น
          ตำแหน่งของจำนวนในแต่ละอัตราส่วนมีความสำคัญ  กล่าวคือ ab   อัตราส่วน a : b ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับอัตราส่วน b : a  เช่น  อัตราส่วนของปริมาณผักเป็นกำต่อราคาเป็นบาทเป็น  3 : 10  ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับ 10 : 3 ทั้งนี้เพราะอัตราส่วน 3 : 10 หมายถึงปริมาณผัก 3 กำราคา 10 บาท ในขณะที่อัตราส่วน 10 : 3 หมายถึง ปริมาณผัก 10 กำ ราคา 3 บาท อัตราส่วน

          ตัวอย่าง แม่ให้รุ้งไปซื้อมะนาวจากตลาดนัดข้างบ้าน รุ้งซื้อ มะนาวมา 4 ผล ราคา 5 บาทจากข้อความดังกล่าว สามารถนำมาเขียนในรูป อัตราส่วน ป็น 4 : 5 นักเรียนคิดว่า ถ้ารุ้งต้องการซื้อมะนาวตามจำนวนที่กำหนดในตาราง  แล้วราคามะนาวจะเป็นอย่างไร

          จำนวนมะนาว (ผล)  4    8    12     16     20
   
          ราคามะนาว  (บาท)  5  ....   .....    ....     .....
         
         ให้นักเรียนเติมราคามะนาวในตารางให้สมบูรณ์
          นักเรียนคิดว่าจะเขียนอัตราส่วนของจำนวนมะนาวเป็นผลต่อราคาเป็นบาทได้อย่างไรบ้าง  ซึ่ง
คำตอบจะเป็นดังนี้ 4 : 5  หรือ 8 : 10 หรือ 12 : 15 หรือ  16 : 20 หรือ 20 : 25 จะเห็นได้ว่าอัตราส่วนเหล่านี้  ได้มาจากการซื้อมะนาวในราคาเดียวกัน คือ  มะนาว  4  ผล  ราคา 5  บาท  และกล่าวว่าอัตราส่วนเหล่านั้นเป็น  อัตราส่วนที่เท่ากัน  ซึ่งเขียนได้ดังนี้

            m1                           

หรือ    m2                
          เราจะสังเกตเห็นว่า  อัตราส่วนที่เท่ากันข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกันกับอัตราส่วน m3   ดังนี้

      คูณด้วยจำนวนเดียวกัน                 หารด้วยจำนวนเดียวกัน
         
         m4                        m5
       
        m6                         m7

        m8                        m9

         m10                       m11
  

          การทำอัตราส่วนให้เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดให้ข้างต้น  เป็นไปตามหลักการหาอัตราส่วนที่
เท่ากัน  ดังนี้

m12

 
ที่มา : http://www.sopon.ac.th/