วันพฤหัสบดีที่ 26 มกราคม พ.ศ. 2555

พหุนาม

พหุนาม

          เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป  โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

          พหุนาม
คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป
         
          การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx +cเมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวที่a 0 และ x  เป็นตัวแปรการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองx2+ bx + c เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม ทำได้เมื่อสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้  b  ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวนดังกล่าว ดังนั้น
 de = c
 d + e = b
 ฉะนั้น x2 + bx + c = x2 + (d + e)x + de
 = ( x2 + dx ) + ( ex + de )
 = ( x + d )x + ( x + d )e
 = ( x + d ) ( x + e )
 ดังนั้น x2 + bx +c แยกตัวประกอบได้เป็น ( x + d ) ( x + e )

 ตัวอย่าง (6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1)
 = 6x2 – 5x + 6x – 5
 = 6x2 + (5x+6x) – 5
 = 6x2 -5x +6x -5
 = 6x2 + x – 5

จากตัวอย่างข้างต้น อาจแสดงวิธีหาพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ได้ดังนี้
 1. (6x – 5)(x + 1)
 = 6x2
พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หน้าของพหุนามของผลลัพธ์
 2. (6x - 5)(x + 1)
 = -5
พจน์หลังของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หลังของพหุนามของผลลัพธ์
 3. (6x – 5)(x + 1)
 = 6x + (-5x )
พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง + พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x  พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลังพจน์กลางของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
          กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน ดังนั้น พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบได้ดังนี้
 x2 + 2ax + a2 = ( x + a )2
 x2 – 2ax + a2 = ( x – a )2
 รูปทั่วไปของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ a2 +2ab + b2 และ a2 -2ab +b2 เมื่อ a และ b  เป็น
พหุนาม  แยกตัวประกอบได้ดังนี้
สูตร a2 +2ab + b2 = ( a + b )2
 a2 -2ab +b2 = (a-b)2

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง
          พหุนามดีกรีสองที่สามารถเขียนได้ในรูป x2 – a2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกเรียกว่า ผลต่างของกำลังสอง จาก x2 – a2 สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x2 – a2 = ( x + a ) ( x – a )
สูตร x2 – a2 = ( x + a ) (x-a)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง x2 + bx + c โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สรุปได้คือ
1. จัดพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูป x2 + 2px +c หรือ x2 -2px +c เมื่อ p เป็นจำนวนจริงบวก
2. ทำบางส่วนของพหุนามที่จัดไว้ในข้อ 1 ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยนำกำลังสองของ p  บวกเข้าและลบออก ดังนี้
 x2 + 2px +c = ( x2 + 2px + p2 ) – p2 + c
 = ( x + p)2 – ( p2 - c )
 x2 – 2px + c = ( x2 - 2px + p2 ) – p2 + c
 = ( x - p)2 – ( p2 - c )
3. ถ้า p2 – c = d2 เมื่อ d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้
 x2 + 2px + c = ( x + p)2 – d2
 x2 - 2px + c = ( x - p)2 – d2
4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )2 – d2 หรือ ( x – p )2 – d2 โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบของผลต่างของกำลังสอง
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
 พหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 และ A3 - B3 ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ
 สูตร A3 + B3 = ( A + B )( A2 –AB + B2)
 A3 - B3 = ( A - B )( A2 +AB + B2)

 ที่มา : k.domaindlx.com/

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น