วันศุกร์ที่ 27 มกราคม พ.ศ. 2555

เวกเตอร์

เวกเตอร์
(Vectors)
ปริมาณในทางฟิสิกส์ มี 2 ปริมาณ คือ
1.ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เป็นปริมาณที่บอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล , อัตราเร็ว , พลังงาน ฯลฯ
2.ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว , ความเร่ง , การกระจัด , แรง ฯลฯ
1. การรวมเวกเตอร์
          การรวมเวกเตอร์ หมายถึง การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ซึ่งพิจารณาได้ ดังนี้
          1.1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป ทำได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการวัดระยะทาง จากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย

จากรูป เวกเตอร ์ =
         
          1.2 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์
          ให้ เวกเตอร์ ทำมุมกับ เป็นมุม q คำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้ ดังนี้
ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์คำนวณได้จากกฎของโคไซน์

ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก
a = ...........................................................(2)
หรือหาได้จากกฎของไซน์ ดังนี้
= = .......................................................(3)
ข้อสังเกต จากสมการที่ (1) พบว่า
  1. เมื่อ q = (คือ และ อยู่ในทิศทางเดียวกัน) จะได้ขนาดของ = โดยทิศทางของ มีทิศเดียวกับ และ
  2. เมื่อ q =
    2.1 ถ้า > จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ
    2.2 ถ้า < จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ
3. เมื่อ q = จะได้
ขนาด R = และ a =
          1.3 การลบเวกเตอร
          การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้เช่นเดียวกับการบวกเวกเตอร์ แต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ ดังนี้
.............................(4)
2. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)
          เวกเตอร์หนึ่งหน่วย หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยในทิศทางใดๆ เช่น เวกเตอร์ สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของ คูณกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ คือ
=
หรือ = .....................................................(5)
โดย คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและทิศเดียวกันกับ
ในระบบแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแกน x , y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ , และ ตามลำดับ จะได้
= ; = ; = ..............................(6)
เมื่อ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน x
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน y
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน z
3. เวกเตอร์องค์ประกอบ (Component Vector)
          3.1 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มิติ
          ถ้า อยู่ในระนาบ x , y โดย ทำมุม q กับแกน x
          องค์ประกอบของ ตามแกน x คือ โดย = Acosq
          องค์ประกอบของ ตามแกน y คือ โดย = Asinq
          ดังนั้น เวกเตอร์ เขียนแยกเป็นองค์ประกอบได้ ดังนี้
=+ ............................(7)
หรือ
= Acosq + Asinq
โดยที่ ขนาดของ
= .................................(8)
          3.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ
          กำหนดให้ อยู่บนระนาบ x , y ,z โดยเวกเตอร์ ทำมุมกับแกน x , y , z เป็นมุม q x , q y , q z
ตามลำดับ เวกเตอร์ สามารถแยกเป็นองค์ประกอบตามแกน x , y , z ได้ ดังนี้
ขนาดของ แทนด้วย Ax = Acosq x โดยที่ cosq x =
ขนาดของ แทนด้วย Ay = Acosq y โดยที่ cosq y =
ขนาดของ แทนด้วย Az = Acosq z โดยที่ cosq z =
ดังนั้น =
=
ขนาด คือ
A = .......................................(9)
ทิศทางของเวกเตอร์ คือ มุมที่ ทำกับแกน x , y , z หาได้จาก
: :
4. เวกเตอร์ตำแหน่ง (Position Vector)
          เวกเตอร์ตำแหน่ง หมายถึง เวกเตอร์ที่บอกตำแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า จุดอ้างอิง
จากรูป เวกเตอร์ และ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด P และ Q เทียบกับจุด O ในระบบพิกัด โดย

จะได้

โดยขนาดของ คือ
.....................................(11)
ทิศทางของ หาได้จาก
; ; ...... (12)
5. การคูณเวกเตอร์ มี 2 แบบ ดังนี้
           ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product หรือ dot product แทนด้วยเครื่องหมาย " . " )
          กำหนดให้ ทำมุม กับ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองมีนิยาม ดังนี้
โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวกเตอร์ และ ตามลำดับ
คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ A กับ B
          คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์
          ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y ,z จะได้ว่า

         คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์
ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y , z จะได้ว่า
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.             
โดยที่
          ผลคูณเวกเตอร์ (Vector Product หรือ Cross Product แทนด้วยเครื่องหมาย "x")
          กำหนดให้ และ เป็นเวกเตอร์ที่ทำมุม q ต่อกัน และ เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ โดย
  ขนาดของ มีนิยามว่า
          ทิศทางของ หาได้โดยใช้กฎมือขวา โดยปลายนิ้วทั้งสี่แทนทิศทางของ และหมุนไปหา
จะได้นิ้วหัวแม่มือแทนทิศทางของ
          คุณสมบัติของผลคูณแบบเวกเตอร์
1.
2.
3.
4.
5.
หรือเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) ได้ว่า
โดยที่


6. การหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์
          ถ้าเวกเตอร์ , และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ U ดังนั้น จะได้
          1.
2.
          3.

          4.
5.
ที่มา : http://www.skoolbuz.com/

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น