การบวกเมทริกซ์

 การบวกเมทริกซ์

บทนิยาม  ให้    และ  จะได้ว่า    โดยที่

            
จากความหมายของการนำเมทริกซ์ A มาบวกกับเมทริกซ์ B ข้างจ้น จะเกิดขึ้นได้ต้องมีเงื่อนไข 2 ประการ คือ
1.  เมทริกซ์ A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน
2.  สมาชิกของผลลัพธ์นั้น เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์ A และสมาชิกในเมทริกซ์ B มาบวกกัน แต่ต้องเป็นสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันทั้งหมด 

ตัวอย่าง  ให้                                                           จากตัวอย่างจะพบว่า

ตัวอย่าง  ให้                     =                    =               จากตัวอย่างนี้ สรุปได้ว่า การบวกเมทริกซ์ เราสามารถใช้สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ นั่นคือ

ตัวอย่าง ให้ และ                       จงหา (1)      (2)    วิธีทำ (1)   +                                                                         (2)     ,              +              นั่นคือ =

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/

อัตราส่วน

          นักเรียนอาจพบข้อความแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณในสถานการณ์ต่างๆ เช่น ข่าวกีฬารายงานว่า "การแข่งขันวอลเลย์บอลของจังหวัดพัทลุง  ทีมเทศบาลชนะทีมจังหวัด  3  ต่อ  2  เซต" ซึ่งข้อความแสดงการเปรียบเทียบจำนวนเซตที่ชนะของทีมเทศบาลและทีมจังหวัด
          ในตลาดนัดอาจได้ยินแม่ค้าร้องขายของว่า "ผักทุกอย่าง  3  กำ  10  บาท" ซึ่งเป็นข้อความแสดงการเปรียบเทียบปริมาณผักกับราคา
          ข้อความข้างต้นเป็นตัวอย่างการใช้อัตราส่วนในชีวิตประจำวันซึ่งเราได้กล่าวถึงต่อไป

          อัตราส่วนของปริมาณ a  ต่อปริมาณ b    เขียนแทนด้วย a : b  หรือ    เรียก a ว่า จำนวนแรกหรือจำนวนที่หนึ่งของอัตราส่วน   และเรียก b ว่าจำนวนหลังหรือจำนวนที่สองของอัตราส่วน a อัตราส่วน b   ต่อจะพิจารณาเฉพาะในกรณีที่  a  ต่อ  b   เป็นจำนวนบวกเท่านั้น
          ตำแหน่งของจำนวนในแต่ละอัตราส่วนมีความสำคัญ  กล่าวคือ    อัตราส่วน a : b ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับอัตราส่วน b : a  เช่น  อัตราส่วนของปริมาณผักเป็นกำต่อราคาเป็นบาทเป็น  3 : 10  ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับ 10 : 3 ทั้งนี้เพราะอัตราส่วน 3 : 10 หมายถึงปริมาณผัก 3 กำราคา 10 บาท ในขณะที่อัตราส่วน 10 : 3 หมายถึง ปริมาณผัก 10 กำ ราคา 3 บาท อัตราส่วน

          ตัวอย่าง แม่ให้รุ้งไปซื้อมะนาวจากตลาดนัดข้างบ้าน รุ้งซื้อ มะนาวมา 4 ผล ราคา 5 บาทจากข้อความดังกล่าว สามารถนำมาเขียนในรูป อัตราส่วน ป็น 4 : 5 นักเรียนคิดว่า ถ้ารุ้งต้องการซื้อมะนาวตามจำนวนที่กำหนดในตาราง  แล้วราคามะนาวจะเป็นอย่างไร

          จำนวนมะนาว (ผล)  4    8    12     16     20
   
          ราคามะนาว  (บาท)  5  ....   .....    ....     .....

         

         ให้นักเรียนเติมราคามะนาวในตารางให้สมบูรณ์

          นักเรียนคิดว่าจะเขียนอัตราส่วนของจำนวนมะนาวเป็นผลต่อราคาเป็นบาทได้อย่างไรบ้าง  ซึ่ง

คำตอบจะเป็นดังนี้ 4 : 5  หรือ 8 : 10 หรือ 12 : 15 หรือ  16 : 20 หรือ 20 : 25 จะเห็นได้ว่าอัตราส่วนเหล่านี้  ได้มาจากการซื้อมะนาวในราคาเดียวกัน คือ  มะนาว  4  ผล  ราคา 5  บาท  และกล่าวว่าอัตราส่วนเหล่านั้นเป็น  อัตราส่วนที่เท่ากัน  ซึ่งเขียนได้ดังนี้

                                       

หรือ                    
          เราจะสังเกตเห็นว่า  อัตราส่วนที่เท่ากันข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกันกับอัตราส่วน    ดังนี้

      คูณด้วยจำนวนเดียวกัน                 หารด้วยจำนวนเดียวกัน
         

                                

       

                                

                               

                               
  

          การทำอัตราส่วนให้เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดให้ข้างต้น  เป็นไปตามหลักการหาอัตราส่วนที่

เท่ากัน  ดังนี้

 

ที่มา : http://www.sopon.ac.th/

วิธีคิดเลขเร็ว

1. การคูณเลข 2 หลักที่จำนวนหน้าเท่ากัน จำนวนหลังบวกกันได้ 10          

          1.ให้เอา เลข ตัวท้ายคูณกัน    ตั้งเป็นผลลัพธ์หลักหน่วย และ หลักสิบไว้ก่อน
          2.ให้เอาตัวหน้าคูณกับจำนวนที่มากกว่ามันอยู่ หนึ่ง คูณได้เท่าไร เขียนเป็นผลลัพธ์ต่อเป็นหลักร้อย, หลักพัน, หลักหมื่น ฯลฯ เป็นผลลัพธ์ ที่ถูกต้อง และ รวดเร็ว

2. การคูณเลข  2 หลักที่จำนวนหลังเท่ากัน  จำนวนหน้าบวกกันได้ 10                      

          1.ให้เอา เลข ตัวท้ายคูณกัน ตั้งเป็นผลลัพธ์หลักหน่วย และ หลักสิบไว้ก่อน
          2.ให้เอาตัวหน้าคูณกัน แล้วบวกตัวหลัง หนึ่งตัว  เขียนเป็นผลลัพธ์ต่อเป็นหลักร้อย,

หลักพัน, หลักหมื่น ฯลฯ เป็นผลลัพธ์ ที่ถูกต้อง และ รวดเร็ว

3. การคูณเลข 2 หลักที่มีหลักสิบเป็นเลข 1 ทั้งตัวตั้งและตัวคูณ            

           1.ให้เอาเลข ตัวท้ายคูณกัน ตั้งเป็นผลลัพธ์หลักหน่วย ถ้าคูณกันเกิน 9 ให้ทดหลักสิบไว้ก่อน
          2.หน่วยตัวหลังบวกกัน และ และเพิ่มข้างหน้าอีก 1 บวกจำนวนที่ทดไว้ เขียนเป็นผลลัพธ์ต่อจากที่เขียนไว้เป็นหลักสิบ หลักร้อย ก็จะได้ผลลัพธ์ ที่ถูกต้อง และรวดเร็ว

4. การคูณเลข 2 หลักที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 1 ทั้งตัวตั้งและตัวคูณ          

          1.เขียน 1 เป็นหลักหน่วยที่ผลลัพธ์ ตั้งไว้ก่อน
          2.เอาเลข หลักสิบ บวกกับ หลักสิบ ได้เท่าไร เขียนเป็นผลลัพธ์   หลักสิบ ต่อจาก 1

(ถ้าบวกกันได้เลขสองตัว ให้ทดตัวหน้าไว้ก่อน)
          3.เอาหลักสิบ คูณ หลักสิบ บวกกับตัวทด ได้เท่าไร เขียนผลลัพธ์ ต่อเป็น หลักร้อย หลักพันต่อไป ก็จะได้ผลลัพธ์ ที่ถูกต้อง และรวดเร็ว

ที่มา : http://www.gotoknow.org/

สมบัติของจำนวนนับ

          จำนวนนับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … จำนวนนับ อาจเรียกว่า “จำนวนเต็มบวก” หรือ “จำนวนธรรมชาติ”

          ตัวประกอบ คือ จำนวนเต็มน้อย ๆ ที่ไปหารตัวนั้นลงตัว เช่น เลข 4 เป็นตัวประกอบของเลข 8 เพราะว่าเลข 4 สามารถหารเลข 8 ได้ลงตัวเลข 10 เป็นตัวประกอบของเลข 100 เพราะว่าเลข 10 สามารถหารเลข 100 ได้ลงตัว

         

          จำนวนคู่ และ จำนวนคี่
          จำนวนคู่ คือ จำนวนนับที่สามารถหารด้วย 2 ได้ลงตัวซึ่งสามารถเขียนแทนจำนวนคู่ได้เป็น 2n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ได้แก่ … -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, …
          จำนวนคี่ คือ จำนวนนับที่ไม่ใช่จำนวนคู่ หรือ จำนวนนับที่ไม่สามารถหารด้วย 2 ได้ลงตัวซึ่ง   สามารถเขียนแทนจำนวนคี่ได้เป็น
          - 2n + 1 เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, … หรือ
          - 2n – 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, … หรือ จำนวนนับนั่นเอง ได้แก่…, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …
         

          ข้อควรรู้
          1. คู่ + คู่ = คู่ เช่น 2 + 4 = 6
          2. คี่ + คี่ = คู่ เช่น 3 + 5 = 8
          3. คู่ + คี่ = คี่ เช่น 2 + 5 = 7
          4. คู่ × คู่ = คู่ เช่น 8 × 10 = 80
          5. คี่ × คี่ = คี่ เช่น 3 × 5 = 15

         

          จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวเอง ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … บางครั้งเรียกจำนวนเฉพาะว่า “ตัวประกอบเฉพาะ”

          การหารลงตัว
          1. การหารด้วย 2 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 0, 2, 4, 6 หรือ 8 จะหารด้วย 2

ลงตัว
          2. การหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนับใดจะหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับนั้นหารด้วย 3 ลงตัว
          ตัวอย่างที่ 1  152 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว เพราะ 1 + 5 + 2 = 8 ซึ่ง 8 หารด ้วย 3 ไม่ลงตัว
          ตัวอย่างที่ 2  162 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 1 + 6 + 2 = 9 ซึ่ง 9 หารด้วย 3 ลงตัว
          3. การหารด้วย 5 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จะหารด้วย 5 ลงตัว

          การแยกตัวประกอบ คือ การคูณของตัวประกอบเฉพาะวิธีในการแยกตัวประกอบมี 2 วิธี คือ
          1. วิธีการตั้งหารสั้น
          ตัวอย่าง  จงแยกตัวประกอบของ 588

                          จะได้ 2 x 2 x 3 x 7 x 7
          2. วิธีแยกตัวประกอบทีละ 2 ตัว
          ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 478
          จะได้ 2 x 239

          ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) และ ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
          ห.ร.ม. คือ ตัวมากที่สุดที่สามารถนำไปหารตัวที่เราสนใจได ้ลงตัวทั้งหมด
          ค.ร.น. คือ ตัวน้อยที่สุดที่ถูกหารด้วยตัวที่เราสนใจได้ลงตัวทั้งหมด
          การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทำได้ 3วิธี ได้แก่ การแยกตัวประกอบ การตั้งหารสั้น และการตั้งหารสองแถว
          (1) การแยกตัวประกอบ
          (2) การตั้งหารสั้น
          (3) การตั้งหารสองแถว

ที่ม : http://www.tutormaths.com/

เอกนาม

1. เอกนาม

          ตัวเลข  เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนจำนวน เช่น  เขียนเลข  9    แทนจำนวนสิ่งของ 
เก้าชิ้น/อย่าง/ตัว แต่บางครั้งเราไม่สามารถใช้ตัวเลขเขียนแทนจำนวนได้ทั้งหมด  เช่น   “ห้าเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง”  ไม่สามารถใช้ตัวเลขเขียนแทนจำนวนจำนวนนั้นได้  เราจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษ เช่น  a, b, c, … ,x, y, z   ตัวใดตัวหนึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวนจำนวนหนึ่ง นั่นคือใช้  5a หรือ  5b หรือ  5c หรือ  5d … หรือ  5x หรือ  5y หรือ  5z   แทน   “ห้าเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง” ข้อความที่เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์ข้างต้นจะประกอบด้วย ตัวเลขและตัวอักษร เราจะเรียกตัวเลขที่ใช้เขียนแทนจำนวนว่า  ค่าคงตัว ตัวอักษร  ที่ใช้เขียนแทนจำนวนว่า  ตัวแปร และข้อความในรูปสัญลักษณ์ เช่น
3 , 5x , 7+2x  ว่านิพจน์

          หลักการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปร  มีดังนี้
          1. กรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่าหนึ่งตัว  ให้หาผลคูณของค่าคงตัวทั้งหมดก่อน  แล้วจึงเขียนในรูปผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปร  และเขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร
          2. กรณีที่มีตัวแปรหลายตัว  ให้เขียนเรียงตามลำดับตัวอักษร
          3. กรณีที่ค่าคงตัวเป็น 1  ไม่ต้องเขียน 1 หน้าตัวแปร   ถ้าค่าคงตัวเป็น -1 ให้เขียนเฉพาะเครื่องหมายลบไว้หน้าตัวแปรทั้งหมด เช่น  1  x  y   เขียนเป็น  xy(-1) y z  x  เขียนเป็น -xyz
ข้อความในรูปประโยคสัญลักษณ์ ดังกล่าวนี้ เรียกว่า เอกนาม
           สรุปว่า เอกนาม คือ นิพจน์ที่เขียนให้อยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป  และเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวกเท่านั้น เอกนามจะมีสองส่วนคือ    
           1. ส่วนที่เป็นค่าคงตัว หรือสัมประสิทธิ์ของเอกนาม
           2. ส่วนที่อยู่ ในรูปการคูณของตัวแปร โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
           หมายเหตุ   หากเลขชี้กำลังของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งติดลบนิพจน์นั้นจะไม่เป็นเอกนาม

          ดีกรีของเอกนาม เราจะเรียกผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวในเอกนาม  ว่าดีกรีของเอกนาม ดังตารางแสดงข้างล่างนี้


          สำหรับดีกรีของเอกนาม 0 ไม่สามารถบอกดีกรีที่แน่นอนได้  เพราะ  0  สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ได้  ไม่ว่า n  เป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวกใด ๆ ดังนั้นจะไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนามศูนย์  หรือกล่าวว่า ดีกรีของเอกนาม 0 หาไม่ได้
           เอกนามที่เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์  จะมีดีกรีของเอกนามเป็น 0    เช่น  3  มีดีกรีเป็น 0  เพราะ 3 สามารถเขียนในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปได้

2. เอกนามที่คล้าย
          พิจารณาเอกนามต่อไปนี้ 3xy, 4xy  จะเห็นว่าเอกนามทั้งสองนี้ต่างกันเฉพาะสัมประสิทธิ์เท่านั้น   ส่วนที่เป็นตัวแปรเหมือนกัน คือ xy เรากล่าวว่าเอกนาม  3xy  และ  4xy  เป็นเอกนามที่คล้ายกัน เพราะฉะนั้น เอกนามสองเอกนามคล้ายกัน  ก็ต่อเมื่อ  เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน และ  เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน ดังตัวอย่างในตาราง ทั้ง 6 ข้อ เป็นเอกนามที่คล้ายกันทั้งสิ้น




3. การบวกเอกนาม  มีหลักเกณฑ์ดังนี้
          1. การหาผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน  = ผลบวกของสัมประสิทธิ์
          2. การหาผลบวกของเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น xy บวกกับ 2y3 ไม่สามารถเขียนผลบวกใน
รูปเอกนามได้แต่เขียนผลบวกในรูปการบวกได้ดังนี้  xy + 2y3

4. การลบเอกนาม มีหลักเกณฑ์ดังนี้
          1. ผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน =  ผลลบของสัมประสิทธิ์
          2. การหาผลลบของเอกนามที่ไม่คล้ายกัน  เช่น   - 4x  ลบกับ  5xy  นั้น  ไม่สามารถเขียนผลลบในรูปเอกนามได้  แต่เขียนผลลบอยู่ในรูปการลบได้ดังนี้  - 4x – 5xy

ที่มา : http://www.thaiview.com/

การบวกลบพหุนาม

^{การบวก-ลบ เอกนาม}   เอกนามที่คล้ายกันสามารถนำมาบวกลบกันได้โดยสมบัติแจกแจง ดังนี้
3XY⁴ + 7XY⁴ = (3+7)XY⁴ ผลบวกของเอกนามคล้ายเท่ากับ(ผลบวกของสัมประสิทธิ์)
ตัวแปรชุดเดิม
3XY⁴ - 7XY⁴ = (3-7)XY⁴ ผลลบของเอกนามคล้ายเท่ากับ (ผลลบของสัมประสิทธิ์)
ตัวแปรชุดเดิม
กรณีที่เอกนามไม่คล้ายกันให้เขียนผลบวกในรูปเดิม เช่น 7X⁴Y + 7XY⁴ ผลลัพธ์คือ
7X⁴Y + 7XY^{4
การคูณ-หาร เอกนาม}
   การคูณให้นำสัมประสิทธิ์มาคูณกันและนำตัวแปรมาคูณกัน การหารให้นำมาหารกันเลยโดยสัมประสิทธิ์อยู่ฝ่ายสัมประสิทธิ์ ตัวแปรอยู่ฝ่ายตัวแปร แล้วก็หารแบบบทแรกๆและปีแรกๆ หากผลหารไม่ใช่เอกนามให้ตอบว่า หารไม่ลงตัว (เช่น เหลือส่วนมากกว่า 1) หากเป็นเอกนามให้ตอบว่าลงตัว

^{พหุนาม}
   กล้วยนั้นหากมีชิ้นเดียวเราเรียกว่าผล หากมีหลายผลก็เรียกว่าหวี เช่นเดียวกับ เอกนามด้วย 1
เอกนาม(ต่อไปนี้ของเรียกว่าพจน์) เรียกว่าเอกนาม หากหลายเอกนาม(พจน์)ก็เรียกว่าพหุนามนั่นเอง เช่น   2m³ + 3n , XY² + YR⁷ , 4q³ - 5y² + 7r<sup>3
จะเห็นได้ว่าพหุนามเกิดจากผลบวกหรือลบของเอกนามไม่คล้า(หากคล้ายจะเป็นเอกนาม)ดังนั้น
เอกนามก็คือพหุนาม
   พหุนามจะมีพจน์คล้ายๆ กัน เรียกว่าพจน์คล้านโดยนับที่จำนวนพจน์ หากเป็นวงเล็บก็นับเป็น 1 พจน์ โดยต้องอยู่ในรูปบวกและลบกันเท่านั้น เราเรียกพหุนามที่ไมีมีพจน์คล้ายว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ และถือว่าดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามถือว่าเป็น ดีกรีของพหุนาม ส่วนมากแล้วนิยมเรียงดีกรีจากมากไปหาน้อยและไม่นิยมให้ติดลบ

การบวก-ลบ พหุนาม ทำได้โดยการนำพจน์คล้ายมารวมกันเท่านั้น (หากไม่เข้าในของให้ไปดูเอกนาม) ส่วนการบวกในแนวตั้งให้เอาพจน์คล้ายให้ตรงกัน ในการลบให้เปลี่ยนลบเป็นบวกแล้วเปลี่ยน พหุนามที่ต่อจากเครื่องหมายลบให้เป็นตรงกันข้าม ซึ่งอธิบายได้ว่าในหลักคณิตศาสตร์ไม่มีการลบจะมีแต่การบวกจำนวนบวก และบวกจำนวนลบ

การคูณ-หาร พหุนาม การคูณเอกนามกับพหุนามนั้นให้คูณแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยเอกนาม ส่วนการคูณพหุนามกับพหุนาม (จะใช้เรียนต่อในเทอม2) ให้คูณทุกๆพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามแล้วนำผลมารวมกัน</sup>
         2a(a+b+c) = 2axa + 2axb + 2axc = 2a²+2ab+2ac         (a+b)(a+b) = (axa) + (axb) + (bxa) + (bxb) = a²+2ab+b<sup>2  
  
ส่วนการหารพหุนามด้วยเอกนามนั้น ให้นำเอกนามทุกพจน์ของพหุนามตัวตั้งแล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาบวกกัน จะเห็นได้ว่าหากพจน์ใดพจน์หนึ่งไม่ใช่เอกนามจะถือว่าผลหารนั้นไม่ลงตัว  ส่วนเศษคือตัวที่ไม่ใช่เอกนาม ส่วนการหารพหุนามด้วยพหุนามนั้นให้หารยาวและหารแบบปกติอาจจะยากและต้องเรียงพจน์ด้วย

ที่มา :www.skoolbuz.com</sup>






   

เวกเตอร์

เวกเตอร์

(Vectors)

ปริมาณในทางฟิสิกส์ มี 2 ปริมาณ คือ

1.ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เป็นปริมาณที่บอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล , อัตราเร็ว , พลังงาน ฯลฯ
2.ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว , ความเร่ง , การกระจัด , แรง ฯลฯ
1. การรวมเวกเตอร์
          การรวมเวกเตอร์ หมายถึง การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ซึ่งพิจารณาได้ ดังนี้

          1.1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป ทำได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการวัดระยะทาง จากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย

จากรูป เวกเตอร ์ =

         
          1.2 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์
          ให้ เวกเตอร์ ทำมุมกับ เป็นมุม q คำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้ ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์คำนวณได้จากกฎของโคไซน์

ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก

a = ...........................................................(2)

หรือหาได้จากกฎของไซน์ ดังนี้

= = .......................................................(3)

ข้อสังเกต จากสมการที่ (1) พบว่า

1. เมื่อ q = (คือ และ อยู่ในทิศทางเดียวกัน) จะได้ขนาดของ = โดยทิศทางของ มีทิศเดียวกับ และ
2. เมื่อ q =
   2.1 ถ้า > จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ
   2.2 ถ้า < จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ

3. เมื่อ q = จะได้

ขนาด R = และ a =

          1.3 การลบเวกเตอร
          การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้เช่นเดียวกับการบวกเวกเตอร์ แต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ ดังนี้

.............................(4)

2. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)
          เวกเตอร์หนึ่งหน่วย หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยในทิศทางใดๆ เช่น เวกเตอร์ สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของ คูณกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ คือ

=

หรือ = .....................................................(5)
โดย คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและทิศเดียวกันกับ
ในระบบแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแกน x , y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ , และ ตามลำดับ จะได้
= ; = ; = ..............................(6)

เมื่อ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน x

คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน y
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน z

3. เวกเตอร์องค์ประกอบ (Component Vector)
          3.1 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มิติ
          ถ้า อยู่ในระนาบ x , y โดย ทำมุม q กับแกน x
          องค์ประกอบของ ตามแกน x คือ โดย = Acosq
          องค์ประกอบของ ตามแกน y คือ โดย = Asinq
          ดังนั้น เวกเตอร์ เขียนแยกเป็นองค์ประกอบได้ ดังนี้

=+ ............................(7)

หรือ

= Acosq + Asinq

โดยที่ ขนาดของ

= .................................(8)

          3.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ
          กำหนดให้ อยู่บนระนาบ x , y ,z โดยเวกเตอร์ ทำมุมกับแกน x , y , z เป็นมุม q _x , q _y , q _z
ตามลำดับ เวกเตอร์ สามารถแยกเป็นองค์ประกอบตามแกน x , y , z ได้ ดังนี้

ขนาดของ แทนด้วย A_x = Acosq _x โดยที่ cosq _x =
ขนาดของ แทนด้วย A_y = Acosq _y โดยที่ cosq _y =
ขนาดของ แทนด้วย A_z = Acosq _z โดยที่ cosq _z =
ดังนั้น =
=

ขนาด คือ

A = .......................................(9)

ทิศทางของเวกเตอร์ คือ มุมที่ ทำกับแกน x , y , z หาได้จาก

: :

4. เวกเตอร์ตำแหน่ง (Position Vector)
          เวกเตอร์ตำแหน่ง หมายถึง เวกเตอร์ที่บอกตำแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า จุดอ้างอิง

จากรูป เวกเตอร์ และ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด P และ Q เทียบกับจุด O ในระบบพิกัด โดย

จะได้

โดยขนาดของ คือ

.....................................(11)

ทิศทางของ หาได้จาก

; ; ...... (12)

5. การคูณเวกเตอร์ มี 2 แบบ ดังนี้
           ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product หรือ dot product แทนด้วยเครื่องหมาย " . " )
          กำหนดให้ ทำมุม กับ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองมีนิยาม ดังนี้

โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวกเตอร์ และ ตามลำดับ
คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ A กับ B

          คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์
          ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y ,z จะได้ว่า

         คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์

ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y , z จะได้ว่า
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.             

โดยที่

          ผลคูณเวกเตอร์ (Vector Product หรือ Cross Product แทนด้วยเครื่องหมาย "x")
          กำหนดให้ และ เป็นเวกเตอร์ที่ทำมุม q ต่อกัน และ เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ โดย
  ขนาดของ มีนิยามว่า
          ทิศทางของ หาได้โดยใช้กฎมือขวา โดยปลายนิ้วทั้งสี่แทนทิศทางของ และหมุนไปหา
จะได้นิ้วหัวแม่มือแทนทิศทางของ

          คุณสมบัติของผลคูณแบบเวกเตอร์

1.
2.
3.
4.
5.

หรือเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) ได้ว่า

โดยที่

6. การหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์
          ถ้าเวกเตอร์ , และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ U ดังนั้น จะได้
          1.

2.

          3.

          4.

5.

ที่มา : http://www.skoolbuz.com/